Häufig kann man schon 1, 2 Tage vor Monatsende in die neue Wohnung und aus der alten raus. Dann muss man den Umzug natürlich in der Zeit schaffen.
Manchmal kommt man aber nicht drum herum, die alte Wohnung noch einen Monat länger zu mieten.
Mit Bank/Versicherung hat das nicht viel zu tun. Wenn du umziehst, meldest du allen wichtigen Stellen deine neue Adresse. Wenn du wichtige Post erwartest, kannst du bei der Post auch einen Nachsendeantrag stellen. Der kostet Geld, aber dann wird dir für ein paar Monate die Post an die neue Adresse nachgeliefert.